The Intersection Problem for Latin Squares with Holes of Size 2 and 3
Except where reference is made to the work of others, the work described in this
dissertation is my own or was done in collaboration with my advisory committee. This
dissertation does not include proprietary or classifled information.
Charla Baker
Certiflcate of Approval:
Dean Hofiman
Professor
Mathematics and Statistics
Charles Lindner, Chair
Distinguished University Professor
Mathematics of Statistics
Peter Johnson
Professor
Mathematics and Statistics
David Woolbright
Professor
Mathematics
Columbus State University
George Flowers
Dean
Graduate School
The Intersection Problem for Latin Squares with Holes of Size 2 and 3
Charla Baker
A Dissertation
Submitted to
the Graduate Faculty of
Auburn University
in Partial Fulflllment of the
Requirements for the
Degree of
Doctor of Philosophy
Auburn, Alabama
May 9, 2009
The Intersection Problem for Latin Squares with Holes of Size 2 and 3
Charla Baker
Permission is granted to Auburn University to make copies of this dissertation at its
discretion, upon the request of individuals or institutions and at
their expense. The author reserves all publication rights.
Signature of Author
Date of Graduation
iii
Vita
Charla Baker was born in Dothan, Alabama on December 30, 1977. After graduating
from George W. Long High School in 1996 she attended Wallace Community College. She
then transferred to Troy State University where she earned Bachelor?s of Science degrees in
both Mathematics and Computer Science. She began graduate school at Auburn University
in 2001. In 2006 she received a Master of Science degree in Mathematics.
iv
Dissertation Abstract
The Intersection Problem for Latin Squares with Holes of Size 2 and 3
Charla Baker
Doctor of Philosophy, May 9, 2009
(M.S., Auburn University, 2006)
(B.S., Troy University, 2001)
163 Typed Pages
Directed by Charles Lindner
In this dissertation we give complete solutions for the intersection problem of latin
squares with holes of size 2 and 3. For a pair of 2n ? 2n latin squares with holes of size 2
to have k entries in common outside of the holes k 2 f0, 1, 2,...., x = 4n2 - 4ng n fx - 1, x
- 2, x - 3, x - 5g. There is , however, an exception for the case of n = 8. For a pair of 3n
? 3n latin squares with holes of size 3 to have k entries in common outside of the holes k
2 f0, 1, 2,...., x = 9n2 - 9ng n fx - 1, x - 2, x - 3, x - 5g.
v
Acknowledgments
I would like to flrst and foremost thank my family. To my mom and dad I would like
to say that I would not have accomplished what I have in my life without your love and
support. To my sister Ruletha thank you for your typing help and moral support. I will
always look up to you and see you as the smartest person I know. To all my friends, thank
you for your support and making me loosen up after long research nights.
vi
Style manual or journal used Journal of Approximation Theory (together with the style
known as \aums"). Bibliograpy follows van Leunen?s A Handbook for Scholars.
Computer software used The document preparation package TEX (speciflcally LATEX)
together with the departmental style-flle aums.sty.
vii
Table of Contents
1 Introduction 1
2 Necessary Conditions 5
3 An Exception for n = 8 8
4 The Intersection Problem for Latin Squares of Order 8 with Holes of
Size 2 12
5 The Intersection Problem for Latin Squares of Order 10 with Holes
of Size 2 22
6 The Complete Solution of the Intersection Problem for Latin Squares
with Holes of Size 2 63
7 The Intersection Problem for Latin Squares of Order 12 with Holes
of Size 3 70
8 The Intersection Problem for Latin Squares of Order 15 with Holes
of Size 3 127
9 The Complete Solution of the Intersection Problem for Latin Squares
with Holes of Size 3 146
Bibliography 155
viii
Chapter 1
Introduction
An n ? n latin square (or latin square of order n) is an n ? n array such that each of
the integers 1, 2, 3,...., n occurs exactly once in each row and column.
Example 1.1 (Two latin squares of order 4)
3 2 1 4
2 1 4 3
4 3 2 1
1 4 3 2
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
1 2 3 4
Latin squares are like grains of sand on the beach. Marshall Hall Jr. [2] has shown that
there are at least n!?(n-1)!?(n-2)!....2!?1 distinct latin squares of order n; and B. Smetaniuk
[4] has shown that the number of distinct latin squares of order n is strictly increasing with
n. That is, if L(n) denotes the number of distinct n ? n latin squares then L(n) < L(n +
1) for all n.
However, the focus of this dissertation is not on the number of latin squares of a given
order but on the number of entries a pair of n ? n latin squares can have in common. For
example, the 4 ? 4 latin squares in Example 1.1 have 9 entries in common.
In [1] Hung Lin Fu gave a complete solution of the intersection problem for latin squares.
Theorem 1.2 (H. L. Fu) There exists a pair of n ? n latin squares having k entries
1
in common if and only if k 2 f0, 1, 2,....., n2g n fn2 - 1, n2 - 2, n2 - 3, n2 - 5g and n ? 5.
There are, however, a few exceptions for n = 1, 2, 3, and 4. ?
A quasigroup is a latin square with a headline and a sideline. For example if we add
a headline and a sideline to the latin squares in Example 1.1 we have the following two
quasigroups.
Example 1.3 (Two quasigroups of order 4)
4 3 2 1 4
3 2 1 4 3
2 4 3 2 1
1 1 4 3 2
? 1 2 3 4
4 2 4 1 3
3 3 1 4 2
2 4 3 2 1
1 1 2 3 4
? 1 2 3 4
In this dissertation we will  ip back and forth between latin squares and quasigroups without
warning, using whatever vernacular facilitates the discussion. Fu went on to solve the
intersection problem for idempotent latin squares. A latin square of order n is idempotent
provided cell (i,i) is occupied by the symbol i for all i 2 f1, 2, 3,...., ng.
Example 1.4 (Two idempotent latin squares of order 6)
3 5 1 2 4 6
6 1 4 3 5 2
5 3 6 4 2 1
2 4 3 1 6 5
4 2 5 6 1 3
1 6 2 5 3 4
4 5 1 3 2 6
2 3 4 6 5 1
3 1 2 4 6 5
6 4 3 5 1 2
5 2 6 1 3 4
1 6 5 2 4 3
2
We can ask the same question for idemptotent latin squares as we asked for latin
squares: How many entries ofi of the main diagonal can a pair of idempotent latin squares
have in common? For example, the 6 ? 6 idempotent latin squares I1 and I2 in
Example 1.4 have flve entries in common ofi of the main diagonal (cells (1, 2), (3, 2),
(5, 3), (6, 2), and (6, 3)).
Theorem 1.5 (H. L. Fu) There exists a pair of n ? n idempotent latin squares having
k entries in common ofi of the main diagonal if and only if k 2 f0, 1, 2,....., x = n2 - ng n
x - 1, x - 2, x - 3, x - 5g and n ? 6. There are a few exceptions for n = 1, 3, 4, and 5. ?
The purpose of this dissertation is to generalize Fu?s results to latin squares with holes of
size two and three. The following deflnition is more easily described in terms of quasigroups.
Let H = fh1, h2, h3,......, htg be a partition of f1, 2, 3,......., ng. The subsets hi 2 H are
called holes. A quasigroup (Q,?) based on f1, 2, 3,....., ng is said to be a quasigroup with
holes H provided (hi;?) is a subquasigroup of (Q,?) for every hi 2 H. If jh1j = jh2j = ........=
jhtj = h, then (Q,?) is said to be a quasigroup with holes of size h. Let H = ff1,2g, f3,4g,
f5,6gg. The quasigroup (Q,?) given below is a quasigroup of order 6 with holes of size 2.
Example 1.6 (Quasigroup of order 6 with holes of size 2)
6 4 3 2 1 6 5
1 3 4 1 2 5 6
4 6 5 4 3 1 2
3 5 6 3 4 2 1
2 2 1 5 6 3 4
1 1 2 6 5 4 3
? 1 2 3 4 5 6
3
The holes are f1, 2g, f3, 4g, and f5, 6g.
Since an idempotent quasigroup can be considered as a quasigroup with holes of size
1, we can consider quasigroups with holes of size h to be a generalization of idempotent
quasigroups. Hence, the intersection problem for quasigroups with holes of size two or three
is a natural generalization of the intersection problem for idempotent quasigroups. We can
now state the intersection problem for quasigroups with holes of size h: Determine the set
of all pairs (n,k) such that there exists a pair of quasigroups of order n with the same holes
of size h having k entries in common outside of the holes.
Example 1.7 (Two quasigroups of order 8 with holes of size 2 intersecting in 11 entries
outside of the holes)
8 6 5 2 1 3 4 8 7
7 3 6 1 5 4 2 7 8
6 4 3 7 8 6 5 2 1
5 7 4 8 2 5 6 1 3
4 8 7 4 3 2 1 5 6
3 5 8 3 4 1 7 6 2
2 2 1 6 7 8 3 4 5
1 1 2 5 6 7 8 3 4
? 1 2 3 4 5 6 7 8
8 5 6 1 2 4 3 8 7
7 6 4 2 5 3 1 7 8
6 3 7 8 1 6 5 4 2
5 4 3 7 8 5 6 2 1
4 7 8 4 3 1 2 6 5
3 8 5 3 4 2 7 1 6
2 2 1 6 7 8 4 5 3
1 1 2 5 6 7 8 3 4
? 1 2 3 4 5 6 7 8
In this dissertation we give a complete solution of the intersection problem for quasi-
groups with holes of size two as well as a complete solution of the intersection problem for
quasigroups with holes of size three. As mentioned earlier, we will use latin square and
quasigroup vernacular interchangeably. So in Example 1.7 if we erase the headlines and
sidelines we have a pair of latin squares of order 8 with holes of size 2 intersecting in 11
entries outside of the holes.
4
Chapter 2
Necessary Conditions
In order to determine the necessary conditions for the complete solution of the intersec-
tion problem for latin squares with holes of size 2 and 3 we will need the following deflnition.
A trade of order n is a pair of partial latin squares of order n such that:
(1) the same cells are occupied, and
(2) the same symbols occur in each row or column
Example 2.1 (Trade of order 5)
2 5
5 4 2
2 4
5 2
2 5 4
4 2
Two (partial) latin squares are said to be disjoint provided they have no entries in common.
A disjoint trade is a trade where the partial latin squares comprising the trade are disjoint.
For example the trade in Example 2.1 is a disjoint trade.
It is important to note that if a pair of latin squares of order n have k entries in
common then the remaining partial latin squares are a disjoint trade.
5
Example 2.2 (A pair of 5 ? 5 latin squares intersecting in 5 cells)
5 1 2 3 4
4 5 1 2 3
3 4 5 1 2
2 3 4 5 1
1 2 3 4 5
3 1 4 2 5
4 5 1 3 2
1 3 2 5 4
5 2 3 4 1
2 4 5 1 3
Resulting disjoint trade
5 2 3 4
2 3
3 4 5 1 2
2 3 4 5
1 2 3 4 5
3 4 2 5
3 2
1 3 2 5 4
5 2 3 4
2 4 5 1 3
Clearly a trade cannot have exactly one cell in a row or column of the trade. It is straight-
forward to see that it is impossible to choose 1, 2, 3, or 5 cells in an n ? n grid without
one of the cells being the only cell in a row or column. It follows that a pair of n ? n latin
squares cannot intersect in exactly n2 - 1, n2 - 2, n2 - 3, or n2 - 5 cells since the cells outside
of the intersection would form a disjoint trade consisting of 1, 2, 3, or 5 cells. We have the
following necessary condition for a pair of n ? n latin squares to have k cells in common.
A necessary condition for a pair of n ? n latin squares to have k cells in common
is k 2 f0, 1, 2,...., n2g n fn2 - 1, n2 - 2, n2 - 3, n2 - 5g. This can immediately be extended
to necessary conditions for a pair of latin squares with holes of size 2 or 3 as follows.
Let L1 and L2 be a pair of 2n ? 2n latin squares with holes of size 2 having k
entries in common outside of the holes. If we flll in the holes we have a pair of latin squares
6
intersecting in k + 4n cells. Since the remaining cells are a disjoint trade we must have k
+ 4n 2 f0, 1, 2, 3,....., 4n2g n f4n2 - 1, 4n2 - 2, 4n2 - 3, 4n2 - 5g so that k 2 f0, 1, 2,....,
x = 4n2 - 4ng n fx - 1, x - 2, x - 3, x - 5g. A similar argument shows that k 2 f0, 1, 2,....,
x = 9n2 - 9ng n fx - 1, x - 2, x - 3, x - 5g for latin squares with holes of size 3. We have the
following necessary conditions for the intersection of latin squares with holes of size 2 and
3.
NECESSARY CONDITIONS
(1) A necessary condition for a pair of 2n ? 2n latin squares with holes of size 2 to have
k entries in common outside of the holes is k 2 f0, 1, 2,...., x = 4n2 - 4ng n fx - 1, x - 2, x
- 3, x - 5g.
(2) A necessary condition for a pair of 3n ? 3n latin squares with holes of size 3 to have
k entries in common outside of the holes is k 2 f0, 1, 2,...., x = 9n2 - 9ng n fx - 1, x - 2,
x - 3, x - 5g.
We will show that these necessary conditions are su?cient with a few
exceptions.
7
Chapter 3
An Exception for n = 8
A necessary condition for a pair of latin squares of order 8 with holes of size 2 to have
k entries in common is k 2 f0, 1, 2,......., 48g n f43, 45, 46, 47g. We will show in this section
that 41 is not possible for n = 8.
In order for a pair of latin squares of order 8 with holes of size 2 to intersect in
41 cells (outside of the holes) the two partial latin squares resulting from removing these
entries must form a disjoint trade consisting of 7 cells outside the holes.
A bit of re ection shows that such a trade must contain either 0, 2, or 3 entries in
each row and column and that, apart from being spread out a bit and the rows and columns
permuted, must look like Example 3.1.
Example 3.1 (Disjoint trade on 7 symbols)
a c X
c b a
X a b
c a X
a c b
X b a
We will show that such a trade cannot be placed in a pair of 8 ? 8 partial latin squares
(with holes of size 2) outside of the holes.
8
8 7
7 8
6 5
5 6
4 3
3 4
2 1
1 2
8 7
7 8
6 5
5 6
4 3
3 4
2 1
1 2
" NOT POSSIBLE "
T1 =
a c X
c b a
X a b
T2 =
c a X
a c b
X b a
If such a trade exists we can assume a = 1. Since a = 1 none of the cells of the
trade can lie in rows 1 or 2 or columns 1 or 2.
9
P1 =
X X 8 7
X X 7 8
X X 6 5
X X 5 6
X X 4 3
X X 3 4
2 1 X X X X X X
1 2 X X X X X X
P2 =
X X 8 7
X X 7 8
X X 6 5
X X 5 6
X X 4 3
X X 3 4
2 1 X X X X X X
1 2 X X X X X X
Therefore all the cells of the trade must lie in the empty cells of P1 and P2.
There are a lot of cases to consider. We will look at one case here, the others being
similar. It su?ces to show that T1 cannot be placed in P1.
X X 8 7
X X 7 8
X X 6 5
X X 5 6
X X 4 3
X X 3 4 c b 1
2 1 X X X X X X
1 2 X X X X X X
10
It is immediate that
8>
<
>:
c 6= 1;3;4;5;6 and
b 6= 1;3;4;7;8
Therefore, c 2 f2, 7, 8g and b 2 f2, 5, 6g. The only possiblility for placing the row
1 c of T1 in P1 is
X X 8 7
X X 7 8
X X 6 5
X X 5 6
X X 4 3 1 c
X X 3 4 c b 1
2 1 X X X X X X
1 2 X X X X X X
(which forces c = 2). But the placement of 1 c in P1 forces row 1 b of T1 to be placed
in cells (5, 7) and (5, 8) or cells (6, 7) and (6, 8). In either case b 6= 5 or 6 which forces
b = 2 = c; which of course is not possible.
There are lots of other cases which are handled similarly. The net result is that
a pair of latin squares of order 8 with holes of size 2 cannot intersect in 41 cells outside of
the holes.
Lemma 3.4 A necessary condition for a pair of 8 ? 8 latin squares with holes of size 2 to
have k entries in common outside of the holes in k 2 f0, 1, 2,........., 48g n f41, 43, 45, 46,
47g. ?
11
Chapter 4
The Intersection Problem for Latin Squares of Order 8 with Holes of
Size 2
In this chapter a complete solution of the intersection problem for latin squares of order
8 with holes of size 2 is given. With the result of Chapter 3 in hand, the necessary condition
for a pair of latin squares of order 8 with holes of size 2 to have k entries in common is now
k 2 f0, 1, 2,.......,48g n f41, 43, 45, 46, 47g. Using a Java program we found latin squares
B1, B2, B3; L1, L2,.........., L44 such that for each k 2 f0, 1, 2,......, 48g n f41, 43, 45, 46,
47g there is a Bi and Lj such that jBi T Ljj = k. These intersections are given in tabular
form at the end of this chapter.
The following is a list of the latin squares B1, B2, B3; L1, L2,.........., L44.
6 5 2 1 3 4 8 7
3 6 1 5 4 2 7 8
4 3 7 8 6 5 2 1
7 4 8 2 5 6 1 3
8 7 4 3 2 1 5 6
5 8 3 4 1 7 6 2
2 1 6 7 8 3 4 5
1 2 5 6 7 8 3 4
3 4 6 5 2 1 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
7 8 1 2 6 5 3 4
4 3 8 7 5 6 2 1
8 6 4 3 7 2 1 5
5 7 3 4 1 8 6 2
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 8 7 4 3
B1 B2
12
3 5 6 1 4 2 8 7
4 6 1 5 2 3 7 8
8 3 2 7 6 5 4 1
7 4 8 2 5 6 1 3
6 8 4 3 1 7 2 5
5 7 3 4 8 1 6 2
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 3 4
5 6 1 2 4 3 8 7
6 5 2 1 3 4 7 8
3 4 8 7 6 5 1 2
4 3 7 8 5 6 2 1
7 8 4 3 1 2 6 5
8 7 3 4 2 1 5 6
2 1 5 6 7 8 3 4
1 2 6 5 8 7 4 3
B3 L1
5 3 6 2 4 1 8 7
4 5 2 6 1 3 7 8
8 4 1 7 6 5 3 2
3 8 7 1 5 6 2 4
7 6 4 3 8 2 1 5
6 7 3 4 2 8 5 1
2 1 8 5 7 4 6 3
1 2 5 8 3 7 4 6
4 3 6 5 1 4 8 7
6 5 2 1 3 4 7 8
7 4 8 2 6 5 1 3
3 7 1 8 5 6 2 4
5 8 4 3 1 7 6 2
8 6 3 4 7 2 5 1
2 1 7 6 4 8 3 5
1 2 5 7 8 3 4 6
L2 L3
5 6 1 2 4 3 8 7
6 5 2 1 3 4 7 8
3 4 8 7 6 5 1 2
4 3 7 8 5 6 2 1
7 8 4 3 1 2 6 5
8 7 3 4 2 1 5 6
2 1 6 5 7 8 3 4
1 2 5 6 8 7 4 3
3 6 1 5 4 2 8 7
5 4 6 2 1 3 7 8
7 8 2 1 6 5 3 4
4 3 8 7 5 6 2 1
6 5 4 3 7 8 1 2
8 7 3 4 2 1 6 5
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 8 7 4 3
L4 L5
13
4 3 6 5 2 1 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
3 7 8 2 6 5 1 4
8 4 1 7 5 6 3 2
7 8 4 3 1 2 6 5
5 6 3 4 7 8 2 1
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 8 7 4 3
3 6 1 5 4 2 8 7
4 5 6 1 2 3 7 8
7 4 8 2 6 5 1 3
8 3 2 7 5 6 4 1
5 8 4 3 1 7 6 2
6 7 3 4 8 1 2 5
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 3 4
L6 L7
3 6 2 5 4 1 8 7
5 4 6 1 2 3 7 8
7 8 1 2 6 5 3 4
4 3 8 7 5 6 2 1
8 5 4 3 1 7 6 2
6 7 3 4 8 2 1 5
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 4 3
3 4 6 5 2 1 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
8 7 1 2 6 5 4 3
4 3 8 7 5 6 2 1
5 8 4 3 1 7 6 2
7 6 3 4 8 2 1 5
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 3 4
L8 L9
5 6 1 2 4 3 8 7
6 5 2 1 3 4 7 8
3 4 8 7 6 5 1 2
4 3 7 8 5 6 2 1
7 8 4 3 1 2 6 5
8 7 3 4 2 1 5 6
2 1 6 5 8 7 4 3
1 2 5 6 7 8 3 4
3 4 6 5 2 1 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
4 7 8 2 6 5 1 3
8 3 1 7 5 6 4 2
7 8 4 3 1 2 6 5
5 6 3 4 8 7 2 1
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 3 4
L10 L11
14
5 6 1 2 4 3 8 7
6 4 2 5 3 1 7 8
3 7 8 1 6 5 4 2
4 3 7 8 5 6 2 1
7 8 4 3 1 2 6 5
8 5 3 4 2 7 1 6
2 1 6 7 8 4 5 3
1 2 5 6 7 8 3 4
5 6 1 2 4 3 8 7
6 5 2 1 3 4 7 8
3 4 8 7 6 5 1 2
4 3 7 8 5 6 2 1
8 7 4 3 1 2 6 5
7 8 3 4 2 1 5 6
2 1 6 5 8 7 4 3
1 2 5 6 7 8 3 4
L12 L13
6 3 2 5 4 1 8 7
4 5 6 1 2 3 7 8
8 7 1 2 6 5 4 3
3 4 8 7 5 6 2 1
7 8 4 3 1 2 6 5
5 6 3 4 8 7 1 2
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 3 4
4 6 1 5 2 3 8 7
6 5 2 1 3 4 7 8
8 3 7 2 6 5 4 1
3 4 8 7 5 6 1 2
7 8 4 3 1 2 6 5
5 7 3 4 8 1 2 6
2 1 6 8 4 7 5 3
1 2 5 6 7 8 3 4
L14 L15
5 6 1 2 4 3 8 7
6 5 2 1 3 4 7 8
3 4 8 7 6 5 1 2
4 3 7 8 5 6 2 1
8 7 4 3 2 1 6 5
7 8 3 4 1 2 5 6
2 1 6 5 8 7 4 3
1 2 5 6 7 8 3 4
5 6 1 2 4 3 8 7
6 4 2 5 3 1 7 8
3 7 8 1 6 5 4 2
4 3 7 8 5 6 2 1
8 5 4 3 2 7 1 6
7 8 3 4 1 2 6 5
2 1 6 7 8 4 5 3
1 2 5 6 7 8 3 4
L16 L17
15
4 6 1 5 3 2 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
7 3 8 2 6 5 4 1
3 4 7 8 5 6 1 2
5 8 4 3 1 7 2 6
8 7 3 4 2 1 6 5
2 1 6 7 8 4 5 3
1 2 5 6 7 8 3 4
5 6 1 2 4 3 8 7
6 5 2 1 3 4 7 8
4 3 8 7 6 5 1 2
3 4 7 8 5 6 2 1
8 7 4 3 2 1 6 5
7 8 3 4 1 2 5 6
2 1 6 5 8 7 4 3
1 2 5 6 7 8 3 4
L18 L19
6 5 1 5 3 2 8 7
5 6 2 1 4 3 7 8
3 7 8 2 6 5 4 1
4 3 7 8 5 6 1 2
8 5 4 3 1 7 2 6
7 8 3 4 2 1 6 5
2 1 6 7 8 4 5 3
1 2 5 6 7 8 3 4
6 5 1 2 4 3 8 7
4 6 2 5 3 1 7 8
7 3 8 1 6 5 4 2
3 4 7 8 5 6 2 1
8 7 4 3 1 6 5
5 8 3 4 2 7 1 6
2 1 6 7 8 4 5 3
1 2 5 6 7 8 3 4
L20 L21
5 6 1 2 4 3 8 7
6 5 2 1 3 4 7 8
4 3 8 7 6 5 2 1
3 4 7 8 5 6 1 2
8 7 4 3 2 1 6 5
7 8 3 4 1 2 5 6
2 1 6 5 8 7 4 3
1 2 5 6 7 8 3 4
6 4 2 5 1 3 8 7
3 5 6 1 4 2 7 8
4 3 8 7 6 5 2 1
8 7 1 2 5 6 4 3
7 8 4 3 2 1 6 5
5 6 3 4 8 7 1 2
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 3 4
L22 L23
16
4 6 1 5 3 2 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
7 3 8 2 6 5 4 1
3 4 7 8 5 6 1 2
8 7 4 3 2 1 6 5
5 8 3 4 1 7 2 6
2 1 6 7 8 4 5 3
1 2 5 6 7 8 3 4
6 5 1 2 4 3 8 7
5 6 2 1 3 4 7 8
4 3 8 7 6 5 2 1
3 4 7 8 5 6 1 2
8 7 4 3 2 1 6 5
7 8 3 4 1 2 5 6
2 1 6 5 8 7 4 3
1 2 5 6 7 8 3 4
L24 L25
6 5 2 1 4 3 8 7
3 4 6 5 1 2 7 8
4 8 1 7 6 5 2 3
7 3 8 2 5 6 4 1
8 7 4 3 2 1 6 5
5 6 3 4 8 7 1 2
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 3 4
6 5 2 1 4 3 8 7
3 4 6 5 1 2 7 8
7 3 8 2 6 5 4 1
4 8 1 7 5 6 2 3
8 7 4 3 2 1 5 6
5 6 3 4 8 7 1 2
2 1 7 8 3 4 6 5
1 2 5 6 7 8 3 4
L26 L27
6 5 2 1 4 3 8 7
5 6 1 2 3 4 7 8
4 3 8 7 6 5 2 1
3 4 7 8 5 6 1 2
8 7 4 3 2 1 6 5
7 8 3 4 1 2 5 6
2 1 6 5 8 7 4 3
1 2 5 6 7 8 3 4
6 4 2 5 3 1 8 7
5 6 1 2 4 3 7 8
4 3 7 8 6 5 2 1
3 7 8 1 5 6 4 2
8 5 4 3 2 7 1 6
7 8 3 4 1 2 6 5
2 1 6 7 8 4 5 3
1 2 5 6 7 8 3 4
L28 L29
17
6 5 2 1 4 3 8 7
4 6 1 5 3 2 7 8
7 3 8 2 6 5 4 1
3 4 7 8 5 6 1 2
8 7 4 3 2 1 6 5
5 8 3 4 1 7 2 6
2 1 6 7 8 4 5 3
1 2 5 6 7 8 3 4
6 5 2 1 3 4 8 7
5 6 1 2 4 3 7 8
4 3 8 7 6 5 2 1
3 4 7 8 5 6 1 2
8 7 4 3 2 1 6 5
7 8 3 4 1 2 5 6
2 1 6 5 8 7 4 3
1 2 5 6 7 8 3 4
L30 L31
6 5 2 1 3 4 8 7
3 4 6 5 1 2 7 8
4 8 1 7 6 5 2 3
7 3 8 2 5 6 4 1
8 7 4 3 2 1 5 6
5 6 3 4 8 7 1 2
2 1 7 8 4 3 6 5
1 2 5 6 7 8 3 4
6 5 2 1 3 4 8 7
5 6 1 2 4 3 7 8
4 3 7 8 6 5 2 1
3 4 8 7 5 6 1 2
8 7 4 3 2 1 6 5
7 8 3 4 1 2 5 6
2 1 6 5 8 7 4 3
1 2 5 6 7 8 3 4
L32 L33
6 5 2 1 3 4 8 7
5 6 1 2 4 3 7 8
4 3 7 8 6 5 2 1
3 4 8 7 5 6 1 2
8 7 4 3 2 1 5 6
7 8 3 4 1 2 6 5
2 1 6 5 8 7 4 3
1 2 5 6 7 8 3 4
6 5 2 1 3 4 8 7
3 6 1 5 4 2 7 8
4 3 7 8 6 5 2 1
7 4 8 2 5 6 1 3
8 7 4 3 2 1 5 6
5 8 3 4 1 7 6 2
2 1 6 7 8 3 4 5
1 2 5 6 7 8 3 4
L34 L35
18
3 4 6 2 1 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
8 7 1 2 6 5 4 3
4 3 8 7 5 6 2 1
7 8 4 3 1 2 6 5
5 6 3 4 8 7 1 2
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 3 4
3 4 6 5 2 1 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
7 8 1 2 6 5 4 3
4 3 8 7 5 6 1 2
8 6 4 3 1 7 2 5
5 7 3 4 8 2 6 1
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 3 4
L36 L37
3 4 6 5 2 1 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
7 8 1 2 6 5 4 3
4 3 8 7 5 6 2 1
8 7 4 3 1 2 6 5
5 6 3 4 8 7 1 2
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 3 4
3 4 6 5 2 1 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
7 8 1 2 6 5 3 4
4 3 8 7 5 6 1 2
8 6 4 3 1 7 2 5
5 7 3 4 8 2 6 1
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 4 3
L38 L39
3 4 6 5 2 1 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
7 8 1 2 6 5 3 4
4 3 8 7 5 6 2 1
8 7 4 3 1 2 6 5
5 6 3 4 8 7 1 2
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 4 3
3 4 6 5 1 2 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
7 8 1 2 6 5 3 4
4 3 8 7 5 6 2 1
8 6 4 3 2 7 1 5
5 7 3 4 8 1 6 2
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 4 3
L40 L41
19
3 4 6 5 2 1 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
7 8 1 2 6 5 3 4
4 3 8 7 5 6 2 1
8 7 4 3 1 2 6 5
5 6 3 4 7 8 1 2
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 8 7 4 3
3 4 6 5 2 1 8 7
6 5 2 1 4 3 7 8
7 8 1 2 6 5 4 3
4 3 8 7 5 6 2 1
8 6 4 3 7 2 1 5
5 7 3 4 1 8 6 2
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 8 7 3 4
L42 L43
3 5 6 1 4 2 8 7
4 6 2 5 1 3 7 8
8 4 1 7 6 5 2 3
7 3 8 2 5 6 4 1
6 8 4 3 2 7 1 5
5 7 3 4 8 1 6 2
2 1 7 8 3 4 5 6
1 2 5 6 7 8 3 4
L44
20
k Bi T Lj k Bi T Lj k Bi T Lj
0 B1 T L1 17 B1 T L18 34 B2 T L35
1 B1 T L2 18 B1 T L19 35 B2 T L36
2 B1 T L3 19 B1 T L20 36 B1 T L37
3 B1 T L4 20 B1 T L21 37 B3 T L38
4 B1 T L5 21 B1 T L22 38 B2 T L39
5 B1 T L6 22 B1 T L23 39 B2 T L40
6 B1 T L7 23 B1 T L24 40 B2 T L41
7 B1 T L8 24 B1 T L25 41
8 B1 T L9 25 B1 T L26 42 B2 T L42
9 B1 T L10 26 B1 T L27 43
10 B1 T L11 27 B1 T L28 44 B2 T L43
11 B1 T L12 28 B1 T L29 45
12 B1 T L13 29 B1 T L30 46
13 B1 T L14 30 B1 T L31 47
14 B1 T L15 31 B1 T L32 48 B1 T L44
15 B1 T L16 32 B2 T L33
16 B1 T L17 33 B1 T L34
Lemma 4.1 The spectrum for 8 ? 8 latin squares with holes of size 2 having k entries in
common outside of the holes is f0, 1, 2,......, 48g n f41, 43, 45, 46, 47g. ?
21
Chapter 5
The Intersection Problem for Latin Squares of Order 10 with Holes of
Size 2
In this chapter a complete solution of the intersection problem for latin squares of order
10 with holes of size 2 is given. As stated, the necessary condition for a pair of latin squares
of order 10 with holes of size 2 to have k entries in common is k 2 f0, 1, 2,.......,80g n f75,
77, 78, 79g. Using a Java program and manual techniques we found latin squares B1, B2;
L1, L2,.........., L76, L77 such that for each k 2 f0, 1, 2,......, 80g n f75, 77, 78, 79g there is
a Bi and Lj such that jBi T Ljj = k. These are given in tabular form at the end of this
chapter.
The following is a list of the latin squares B1, B2, B3; L1, L2,.........., L76, L77:
6 5 8 7 1 2 4 3 10 9
5 3 2 1 8 7 6 4 9 10
4 6 1 2 9 10 8 7 3 5
3 4 10 9 2 1 7 8 5 6
10 7 9 8 6 5 3 2 1 4
8 9 7 10 5 6 2 1 4 3
9 10 4 3 7 8 5 6 2 1
7 8 3 4 10 9 1 5 6 2
2 1 6 5 4 3 10 9 8 7
1 2 5 6 3 4 9 10 7 8
B1
22
4 3 2 1 8 7 6 5 10 9
3 4 1 2 7 8 5 6 9 10
6 5 10 9 2 1 8 7 4 3
5 6 9 10 1 2 7 8 3 4
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
9 10 7 8 5 6 3 4 1 2
8 7 4 3 10 9 2 1 6 5
7 8 3 4 9 10 1 2 5 6
2 1 6 5 4 3 10 9 8 7
1 2 5 6 3 4 9 10 7 8
B2
4 3 2 1 7 8 6 5 10 9
6 4 8 7 2 1 5 3 9 10
3 5 9 10 1 2 8 7 6 4
10 6 1 2 9 3 7 8 4 5
8 10 7 9 6 5 4 1 3 2
9 7 10 8 5 6 3 4 2 1
7 8 4 3 10 9 1 2 5 6
5 9 3 4 8 10 2 6 1 7
2 1 5 6 3 4 9 10 7 8
1 2 6 5 4 7 10 9 8 3
L1
23
3 4 7 8 2 1 6 5 10 9
4 6 1 2 7 8 5 3 9 10
9 5 2 10 1 3 8 7 6 4
6 3 9 1 10 2 7 8 4 5
8 9 10 7 6 5 4 1 3 2
7 10 8 9 5 6 3 4 2 1
10 7 4 3 8 9 1 2 5 6
5 8 3 4 9 10 2 6 1 7
2 1 5 6 3 4 9 10 7 8
1 2 6 5 4 7 10 9 8 3
L2
4 3 1 2 8 7 5 6 10 9
6 4 7 8 1 2 3 5 9 10
3 5 10 9 2 1 8 7 4 6
10 6 2 1 3 9 7 8 5 4
8 10 9 7 6 5 1 4 2 3
9 7 8 10 5 6 4 3 1 2
7 8 4 3 9 10 2 1 6 5
5 9 3 4 10 8 6 2 7 1
2 1 5 6 7 4 9 10 3 8
1 2 6 5 4 3 10 9 8 7
L3
24
4 6 1 2 7 8 5 3 10 9
3 4 7 8 2 1 6 5 9 10
9 5 2 10 1 3 8 7 6 4
6 3 9 1 10 2 7 8 4 5
8 9 10 7 6 5 4 1 3 2
7 10 8 9 5 6 3 4 2 1
10 7 4 3 8 9 1 2 5 6
5 8 3 4 9 10 2 6 1 7
2 1 5 6 3 4 9 10 7 8
1 2 6 5 4 7 10 9 8 3
L4
3 4 1 2 8 7 5 6 10 9
4 6 7 8 1 2 3 5 9 10
5 3 10 9 2 1 8 7 4 6
6 10 2 1 3 9 7 8 5 4
10 8 9 7 6 5 1 4 2 3
7 9 8 10 5 6 4 3 1 2
8 7 4 3 9 10 2 1 6 5
9 5 3 4 10 8 6 2 7 1
2 1 5 6 7 4 9 10 3 8
1 2 6 5 4 3 10 9 8 7
L5
25
4 3 1 2 8 7 5 6 10 9
6 4 7 8 1 2 3 5 9 10
3 5 10 9 2 1 8 7 6 4
10 6 2 1 3 9 7 8 4 5
8 10 9 7 6 5 1 4 3 2
9 7 8 10 5 6 4 3 2 1
7 8 4 3 9 10 2 1 5 6
5 9 3 4 10 8 6 2 1 7
2 1 5 6 7 4 9 10 8 3
1 2 6 5 4 3 10 9 7 8
L6
4 3 1 2 7 8 6 5 10 9
6 4 7 8 2 1 5 3 9 10
3 5 10 9 1 2 8 7 6 4
10 6 2 1 9 3 7 8 4 5
8 10 9 7 6 5 4 1 3 2
9 7 8 10 5 6 3 4 2 1
7 8 4 3 10 9 1 2 5 6
5 9 3 4 8 10 2 6 1 7
2 1 6 5 3 4 9 10 7 8
1 2 5 6 4 7 10 9 8 3
L7
26
4 6 1 2 7 8 5 3 10 9
3 4 7 8 2 1 6 5 9 10
9 5 2 10 1 3 8 7 6 4
6 3 9 1 10 2 7 8 4 5
7 10 8 9 6 5 3 4 2 1
8 9 10 7 5 6 4 1 3 2
10 7 4 3 8 9 1 2 5 6
5 8 3 4 9 10 2 6 1 7
2 1 5 6 3 4 9 10 7 8
1 2 6 5 4 7 10 9 8 3
L8
4 6 1 2 7 8 5 3 10 9
3 4 7 8 2 1 6 5 9 10
9 5 2 10 1 3 8 7 6 4
6 3 9 1 10 2 7 8 4 5
7 10 8 9 6 5 3 4 2 1
8 9 10 7 5 6 4 1 3 2
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L77
61
k Bi T Lj k Bi T Lj k Bi T Lj k Bi T Lj k Bi T Lj
0 B1 T L1 17 B1 T L18 34 B2 T L35 51 B2 T L52 68 B2 T L69
1 B1 T L2 18 B2 T L19 35 B2 T L36 52 B2 T L53 69 B2 T L70
2 B1 T L3 19 B2 T L20 36 B2 T L37 53 B2 T L54 70 B1 T L71
3 B1 T L4 20 B2 T L21 37 B2 T L38 54 B2 T L55 71 B1 T L72
4 B1 T L5 21 B2 T L22 38 B2 T L39 55 B2 T L56 72 B2 T L73
5 B1 T L6 22 B2 T L23 39 B2 T L40 56 B2 T L57 73 B1 T L74
6 B1 T L7 23 B T L24 40 B2 T L41 57 B2 T L58 74 B1 T L75
7 B1 T L8 24 B2 T L25 41 B2 T L42 58 B2 T L59 75
8 B1 T L9 25 B2 T L26 42 B2 T L43 59 B2 T L60 76 B2 T L76
9 B1 T L10 26 B2 T L27 43 B2 T L44 60 B2 T L61 77
10 B1 T L11 27 B2 T L28 44 B2 T L45 61 B2 T L62 78
11 B1 T L12 28 B2 T L29 45 B2 T L46 62 B2 T L63 79
12 B1 T L13 29 B2 T L30 46 B2 T L47 63 B2 T L64 80 B2 T L77
13 B1 T L14 30 B2 T L31 47 B2 T L48 64 B2 T L65
14 B1 T L15 31 B2 T L32 48 B2 T L49 65 B2 T L66
15 B1 T L16 32 B2 T L33 49 B2 T L50 66 B2 T L67
16 B1 T L17 33 B2 T L34 50 B2 T L51 67 B1 T L68
Lemma 5.1 The spectrum for 10 ? 10 latin squares with holes of size 2 having k entries
in common outside of the holes is f0, 1, 2,......, 80g n f75, 77, 78, 79g. ?
62
Chapter 6
The Complete Solution of the Intersection Problem for Latin Squares
with Holes of Size 2
To begin with there is nothing to prove for n = 2 and 4. For n = 6 it is immediate
that the possible intersection numbers are f0, 4, 8, 12, 16, 20, 24g.
Now let A1, B1, C1, and D1 be any idempotent latin squares of order n ? 6 and
let T be the latin square
T = 2 1
1 2
Let T1 be the latin square deflned by the generalized direct product
T1 =
C1 ? f2g D1 ? f1g
A1 ? f1g B1 ? f2g
Then T1 is a latin square of order 2n with holes H = fh1, h2,......, hng, hi = f(i, 1), (i, 2)g,
of size 2.
63
Example 6.1 (Generalized direct product of order 12)
A1 =
3 5 1 2 4 6
6 1 4 3 5 2
5 3 6 4 2 1
2 4 3 1 6 5
4 2 5 6 1 3
1 6 2 5 3 4
B1 =
4 5 1 3 2 6
2 3 4 6 5 1
3 1 2 4 6 5
6 4 3 5 1 2
5 2 6 1 3 4
1 6 5 2 4 3
C1 =
2 3 4 5 1 6
4 6 1 3 5 2
3 1 2 4 6 5
5 4 3 6 2 1
6 2 5 1 4 3
1 5 6 2 3 4
D1 =
4 3 1 5 2 6
2 6 4 3 5 1
3 1 5 4 6 2
6 4 3 2 1 5
5 2 6 1 4 3
1 5 2 6 3 4
64
Then
T1 =
2,2 3,2 4,2 5,2 1,2 6,2 4,1 3,1 1,1 5,1 2,1 6,1
4,2 6,2 1,2 3,2 5,2 2,2 2,1 6,1 4,1 3,1 5,1 1,1
3,2 1,2 2,2 4,2 6,2 5,2 3,1 1,1 5,1 4,1 6,1 2,1
5,2 4,2 3,2 6,2 2,2 1,2 6,1 4,1 3,1 2,1 1,1 5,1
6,2 2,2 5,2 1,2 4,2 3,2 5,1 2,1 6,1 1,1 4,1 3,1
1,2 5,2 6,2 2,2 3,2 4,2 1,1 5,1 2,1 6,1 3,1 4,1
3,1 5,1 1,1 2,1 4,1 6,1 4,2 5,2 1,2 3,2 2,2 6,2
6,1 1,1 4,1 3,1 5,1 2,1 2,2 3,2 4,2 6,2 5,2 1,2
5,1 3,1 6,1 4,1 2,1 1,1 3,2 1,2 2,2 4,2 6,2 5,2
2,1 4,1 3,1 1,1 6,1 5,1 6,2 4,2 3,2 5,2 1,2 2,2
4,1 2,1 5,1 6,1 1,1 3,1 5,2 2,2 6,2 1,2 3,2 4,2
1,1 6,1 2,1 5,1 3,1 4,1 1,2 6,2 5,2 2,2 4,2 3,2
Note the cells of size 2 are f(i, 1), (i, 2)g, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Now let A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, and D2 be idempotent latin squares of order
n ? 6 and let
T1 =
C1 ? f2g D1 ? f1g
A1 ? f1g B1 ? f2g
65
T2 =
C2 ? f2g D2 ? f1g
A2 ? f1g B2 ? f2g
be the generalized direct products of order 2n constructed from the above latin squares and
T. Then T1 and T2 are latin squares of order 2n with holes H = fh1, h2,...., hng,
hi = f(i, 1), (i, 2)g, of size 2.
To keep from endlessly saying "outside of the holes" (and this includes holes of size
1; i.e., idempotent latin squares) it is understood that "intersection" means "intersection
outside of the holes."
If jA1 T A2j = x, jB1 T B2j = y, jC1 T C2j = z, and jD1 T D2j = w, then jT1 T T2j
= x + y + z + w.
66
Example 6.2 (Two 12 ? 12 latin squares intersecting in 40 cells)
A2 =
3 1 4 5 2 6
4 3 1 6 5 2
2 6 5 4 3 1
6 4 3 2 1 5
5 2 6 1 4 3
1 5 2 3 6 4
B2 =
4 3 1 5 2 6
3 1 4 6 5 2
2 6 2 4 3 1
6 4 3 2 1 5
5 2 6 1 4 3
1 5 2 3 6 4
C2 =
2 5 1 3 4 6
6 3 4 2 5 1
3 1 6 4 2 5
5 4 3 1 6 2
4 2 5 6 1 3
1 6 2 5 3 4
D2 =
3 5 1 2 4 6
2 6 4 3 5 1
5 3 6 4 1 2
4 1 3 6 2 5
6 2 5 1 3 4
1 4 2 5 6 3
67
Then
T2 =
3,2 1,2 4,2 5,2 2,2 6,2 4,1 3,1 1,1 5,1 2,1 6,1
4,2 3,2 1,2 6,2 5,2 2,2 3,1 1,1 4,1 6,1 5,1 2,1
2,2 6,2 5,2 4,2 3,2 1,2 2,1 6,1 5,1 4,1 3,1 1,1
6,2 4,2 3,2 2,2 1,2 5,2 6,1 4,1 3,1 2,1 1,1 5,1
5,2 2,2 6,2 4,2 1,2 3,2 5,1 2,1 6,1 1,1 4,1 3,1
1,2 5,2 2,2 3,2 6,2 4,2 1,1 5,1 2,1 3,1 6,1 4,1
2,1 5,1 1,1 3,1 4,1 6,1 3,2 5,2 1,2 2,2 4,2 6,2
6,1 3,1 4,1 2,1 5,1 1,1 2,2 6,2 4,2 3,2 5,2 1,2
3,1 1,1 6,1 4,1 2,1 5,1 5,2 3,2 6,2 4,2 1,2 2,2
5,1 4,1 3,1 1,1 6,1 2,1 4,2 1,2 3,2 6,2 2,2 5,2
4,1 2,1 5,1 6,1 1,1 3,1 6,2 2,2 5,2 1,2 3,2 4,2
1,1 6,1 2,1 5,1 3,1 4,1 1,2 4,2 2,2 5,2 6,2 3,2
If A1, B1, C1, and D1, are as in Example 6.1: jA1 T A2j = 8, jB1 T B2j = 13,
jC1 T C2j = 10, and jD1 T D2j = 9; so that jT1 T T2j = 8 + 13 + 10 + 9 = 40.
Lemma 6.3 If 2n ? 12, there exists a pair of 2n ? 2n latin squares with holes of
size 2 intersecting in k entries if and only if k 2 f0, 1, 2,....., x = 4n2 - 4ng n fx - 1, x - 2,
x - 3, x - 5g. ?
Proof. If k 2 f0, 1, 2,...., x = 4n2 - 4ng n fx - 1, x - 2, x - 3, x - 5g, we can always
write k = x + y + z + w, where each of x, y, z, and w belongs to f0, 1, 2,......, x = n2 - ng
n fx - 1, x - 2, x - 3, x - 5g. ?
68
Theorem 6.4 The spectrum for pairs of latin squares with holes of size 2 inter-
secting in k entries is:
(i) (6, k), k 2 f0, 4, 8, 12, 16, 20, 24g,
(ii) (8, k), k 2 f0, 1, 2,......, 48g n f41, 43, 45, 46, 47g, and
(iii) (2n, k), 2n ? 10 and k 2 f0, 1, 2,......., x = 4n2 - 4ng n fx - 1, x - 2, x - 3, x - 5g.
?
Proof. The comments at the beginning of this chapter plus Lemmas 4.1, 5.1, and 6.3.
?
69
Chapter 7
The Intersection Problem for Latin Squares of Order 12 with Holes of
Size 3
In this chapter a complete solution of the intersection problem for latin squares of order
12 with holes of size 3 in given. The necessary condition for a pair of latin squares of order
12 with holes of size 3 to have k entries in common is k 2 f0, 1, 2,.......,108g n f103, 105,
106, 107g. Using a Java program and manual techniques we found latin squares B1, B2,
B3; L1, L2,.........., L76, L77 such that for each k 2 f0, 1, 2,......, 108g n f103, 105, 106, 107g
there is a Bi and Lj such that jBi T Ljj = k. These are given in tabular form at the end
of this chapter.
The following is a list of the latin squares B1, B2, B3; L1, L2,.........., L104, L105:
4 7 5 2 9 8 6 3 1 11 10 12
8 4 9 3 1 7 2 5 6 12 11 10
9 8 7 1 3 2 5 6 4 10 12 11
6 5 4 10 11 12 8 7 9 2 3 1
11 10 6 12 2 3 9 8 7 1 4 5
5 6 10 11 12 1 7 9 8 3 2 4
10 9 12 5 4 6 11 1 2 7 8 3
12 11 8 6 5 4 3 2 10 9 1 7
7 12 11 4 6 5 1 10 3 8 9 2
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
B1
70
8 4 9 3 1 7 5 6 2 11 10 12
5 9 7 1 3 8 6 2 4 12 11 10
4 7 8 2 9 1 3 5 6 10 12 11
11 10 6 12 2 3 8 7 9 1 4 5
10 6 5 11 12 2 9 8 7 3 1 4
6 5 4 10 11 12 7 9 8 2 3 1
12 11 10 5 4 6 2 3 1 8 9 7
9 12 11 6 5 4 1 10 3 7 8 2
7 8 12 4 6 5 11 1 10 9 2 3
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
B2
8 9 5 3 1 7 6 4 2 11 10 12
7 8 9 2 3 1 5 6 4 12 11 10
4 7 8 9 2 3 1 5 6 10 12 11
6 4 11 12 10 2 8 7 9 3 1 5
5 6 4 11 12 10 7 9 8 2 3 1
10 5 6 1 11 12 7 9 8 4 2 3
12 10 7 5 4 6 3 1 11 9 8 2
11 12 10 6 5 4 2 3 1 8 9 7
9 11 12 4 6 5 10 2 3 1 7 8
2 1 3 8 7 11 12 10 5 6 4 9
3 2 1 7 9 8 11 12 10 5 6 4
1 3 2 10 8 9 4 11 12 7 5 6
B3
71
4 7 5 2 9 8 6 3 1 11 10 12
8 4 9 3 1 7 2 5 6 12 11 10
9 8 7 1 3 2 5 6 4 10 12 11
6 5 4 10 11 12 8 7 9 2 3 1
11 10 6 12 2 3 9 8 7 1 4 5
5 6 10 11 12 1 7 9 8 3 2 4
10 9 12 5 4 6 11 1 2 7 8 3
12 11 8 6 5 4 3 2 10 9 1 7
7 12 11 4 6 5 1 10 3 8 9 2
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L1
8 4 9 3 1 7 5 6 2 11 10 12
5 9 7 1 3 8 2 6 4 12 11 10
4 7 8 2 9 1 3 5 6 10 12 11
11 10 6 12 2 3 8 7 9 1 4 5
10 6 5 11 12 2 9 8 7 3 1 4
6 5 4 10 11 12 7 9 8 2 3 1
12 11 10 5 4 6 2 3 1 8 9 7
9 12 11 6 5 4 1 10 3 7 8 2
7 8 12 4 6 5 11 1 10 9 2 3
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L2
72
4 7 8 2 9 3 6 5 1 11 10 12
8 4 9 3 2 7 5 1 6 12 11 10
5 9 7 1 3 8 2 6 4 10 12 11
10 6 5 11 12 1 8 7 9 2 3 4
6 5 4 10 11 12 7 9 8 1 2 3
11 10 6 12 1 2 7 9 8 3 4 5
1 12 11 5 4 6 3 2 10 7 8 1
12 8 10 6 5 4 11 3 2 9 1 7
7 11 12 4 6 5 1 10 3 8 9 2
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L3
4 9 7 1 3 8 2 5 6 11 10 12
8 7 4 2 9 1 5 6 3 12 11 10
9 8 5 3 1 7 6 2 4 10 12 11
6 5 10 11 12 2 8 7 9 3 1 4
5 4 6 10 11 12 7 9 8 2 3 1
10 6 11 12 2 3 7 9 8 1 5 4
11 12 9 5 4 6 1 10 2 7 8 3
12 11 8 6 5 4 3 1 10 9 2 7
7 10 12 4 6 5 11 3 1 8 9 2
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L4
73
4 9 7 1 2 8 3 5 6 11 10 12
8 7 4 2 9 3 5 6 1 12 11 10
9 8 5 3 1 7 6 2 4 10 12 11
6 5 10 11 12 1 8 7 9 3 2 4
5 4 6 10 11 12 7 9 8 2 3 1
10 6 11 12 3 2 7 9 8 1 4 5
11 12 9 5 4 6 1 10 2 7 8 3
12 11 8 6 5 4 2 3 10 9 1 7
7 10 12 4 6 5 11 1 3 8 9 2
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L5
4 7 8 1 9 2 3 5 6 11 10 12
8 4 9 2 1 7 5 6 3 12 11 10
5 9 7 3 2 8 6 1 4 10 12 11
6 5 4 10 11 12 8 7 9 3 1 2
11 10 6 12 3 1 7 9 8 2 4 5
10 6 5 11 12 3 7 9 8 1 2 4
9 12 11 5 4 6 1 2 10 7 8 3
12 11 10 6 5 4 2 3 1 8 9 7
7 8 12 4 6 5 11 10 2 9 3 1
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L6
74
4 7 8 1 9 2 3 5 6 11 10 12
8 4 9 2 1 7 5 6 3 12 11 10
5 9 7 3 2 8 6 1 4 10 12 11
6 5 4 10 11 12 8 7 9 3 1 2
11 10 6 12 3 1 7 9 8 2 4 5
10 6 5 11 12 3 7 9 8 1 2 4
9 12 11 5 4 6 1 2 10 7 8 3
12 11 10 6 5 4 2 3 1 8 9 7
7 8 12 4 6 5 11 10 2 9 3 1
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L7
4 7 8 2 9 3 6 5 1 11 10 12
8 4 9 3 2 7 5 1 6 12 11 10
5 9 7 1 3 8 2 6 4 10 12 11
10 6 5 11 12 1 8 7 9 2 3 4
6 5 4 10 11 12 7 9 8 1 2 3
11 10 6 12 1 2 7 9 8 3 4 5
1 12 11 5 4 6 3 2 10 7 8 1
12 8 10 6 5 4 11 3 2 9 1 7
7 11 12 4 6 5 1 10 3 8 9 2
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L8
75
8 4 9 3 1 7 5 6 2 11 10 12
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L52
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L53
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7 8 12 4 6 5 11 1 10 9 2 3
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L100
121
8 4 9 2 1 7 3 5 6 11 10 12
5 9 7 1 3 8 6 2 4 12 11 10
4 7 8 3 9 1 5 6 2 10 12 11
10 6 5 11 12 2 8 7 9 3 1 4
11 10 6 12 2 3 9 8 7 1 4 5
6 5 4 10 11 12 7 9 8 2 3 1
12 11 10 5 4 6 2 3 1 8 9 7
9 12 11 6 5 4 1 10 3 7 8 2
7 8 12 4 6 5 11 1 10 9 2 3
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L101
8 9 5 3 1 7 6 4 2 11 10 12
7 8 9 2 3 1 5 6 4 12 11 10
4 7 8 9 2 3 1 5 6 10 12 11
6 4 11 12 10 2 8 7 9 3 1 5
5 6 4 11 12 10 7 9 8 2 3 1
10 5 6 1 11 12 7 9 8 4 2 3
12 10 7 5 4 6 3 1 11 9 8 2
11 12 10 6 5 4 2 3 1 8 9 7
9 11 12 4 6 5 10 2 3 1 7 8
2 1 3 7 8 11 12 10 5 6 4 9
3 2 1 8 7 9 11 12 10 5 6 4
1 3 2 10 8 9 4 11 12 7 5 6
L102
122
8 4 9 3 1 7 5 6 2 11 10 12
5 9 7 1 3 8 6 2 4 12 11 10
4 7 8 2 9 1 3 5 6 10 12 11
10 6 5 11 12 2 8 7 9 3 1 4
11 10 6 12 2 3 9 8 7 1 4 5
6 5 4 10 11 12 7 9 8 2 3 1
12 11 10 5 4 6 2 3 1 8 9 7
9 12 11 6 5 4 1 10 3 7 8 2
7 8 12 4 6 5 11 1 10 9 2 3
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L103
8 4 9 1 3 7 5 6 2 11 10 12
5 9 7 3 1 8 6 2 4 12 11 10
4 7 8 2 9 1 3 5 6 10 12 11
10 6 5 11 12 2 8 7 9 3 1 4
11 10 6 12 2 3 9 8 7 1 4 5
6 5 4 10 11 12 7 9 8 2 3 1
12 11 10 5 4 6 2 3 1 8 9 7
9 12 11 6 5 4 1 10 3 7 8 2
7 8 12 4 6 5 11 1 10 9 2 3
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L104
123
8 4 9 3 1 7 5 6 2 11 10 12
5 9 7 1 3 8 6 2 4 12 11 10
4 7 8 2 9 1 3 5 6 10 12 11
10 6 5 11 12 2 8 7 9 3 1 4
11 10 6 12 2 3 9 8 7 1 4 5
6 5 4 10 11 12 7 9 8 2 3 1
12 11 10 5 4 6 2 3 1 8 9 7
9 12 11 6 5 4 1 10 3 7 8 2
7 8 12 4 6 5 11 1 10 9 2 3
2 1 3 9 10 11 12 4 5 6 7 8
3 2 1 8 7 10 4 12 11 5 6 9
1 3 2 7 8 9 10 11 12 4 5 6
L105
124
k Bi T Lj k Bi T Lj k Bi T Lj k Bi T Lj k Bi T Lj
0 B2 T L1 21 B1 T L22 42 B2 T L43 63 B2 T L64 84 B2 T L85
1 B1 T L2 22 B2 T L23 43 B2 T L44 64 B2 T L65 85 B2 T L86
2 B1 T L3 23 B2 T L24 44 B2 T L45 65 B2 T L66 86 B2 T L87
3 B1 T L4 24 B2 T L25 45 B2 T L46 66 B2 T L67 87 B2 T L88
4 B2 T L5 25 B2 T L26 46 B2 T L47 67 B2 T L68 88 B2 T L89
5 B1 T L6 26 B2 T L27 47 B2 T L48 68 B2 T L69 89 B2 T L90
6 B1 T L7 27 B1 T L28 48 B2 T L49 69 B2 T L70 90 B2 T L91
7 B1 T L8 28 B2 T L29 49 B2 T L50 70 B2 T L71 91 B2 T L92
8 B1 T L9 29 B2 T L30 50 B2 T L51 71 B2 T L72 92 B2 T L93
9 B1 T L10 30 B2 T L31 51 B2 T L52 72 B2 T L73 93 B2 T L94
10 B2 T L11 31 B2 T L32 52 B2 T L53 73 B2 T L74 94 B2 T L95
11 B1 T L12 32 B2 T L33 53 B2 T L54 74 B2 T L75 95 B2 T L96
12 B1 T L13 33 B2 T L34 54 B2 T L55 75 B2 T L76 96 B2 T L97
13 B1 T L14 34 B2 T L35 55 B2 T L56 76 B2 T L77 97 B2 T L98
14 B1 T L15 35 B2 T L36 56 B2 T L57 77 B2 T L78 98 B2 T L99
15 B1 T L16 36 B2 T L37 57 B2 T L58 78 B2 T L79 99 B2 T L100
16 B2 T L17 37 B2 T L38 58 B2 T L59 79 B2 T L80 100 B2 T L101
17 B2 T L18 38 B2 T L39 59 B2 T L60 80 B2 T L81 101 B3 T L102
18 B2 T L19 39 B2 T L40 60 B2 T L61 81 B2 T L82 102 B2 T L103
19 B1 T L20 40 B2 T L41 61 B2 T L62 82 B2 T L83 104 B2 T L104
20 B1 T L21 41 B2 T L42 62 B2 T L63 83 B2 T L84 108 B2 T L105
125
Lemma 7.1 The spectrum for 12 ? 12 latin squares with holes of size 3 having k entries
in common outside of the holes is f0, 1, 2,......, 108g n f103, 105, 106, 107g. ?
126
Chapter 8
The Intersection Problem for Latin Squares of Order 15 with Holes of
Size 3
In this chapter a complete solution of the intersection problem for latin squares of order
15 with holes of size 3 is given. The necessary condition for a pair of latin squares of order
12 with holes of size 3 to have k entries in common is k 2 f0, 1, 2,.......,180g n f175, 177,
178, 179g. In [1], Hung Lin Fu constructed a pair of 7 ? 7 latin squares A and B as shown
below having k entries in common outside of the fllled in cells for all k 2 f0, 2, 4,....., 22,
24, 25, 26, 28, 29, 32g.
A =
7
6
5
4
2 1 3
3 2 1
1 3 2
B =
7
6
5
4
2 1 3
3 2 1
1 3 2
In what follows if L is a latin square of the form A or B we will denote by L ? fig the latin
square obtained from L by replacing each of the symbols 4, 5, 6, and 7 with the ordered
pairs (4, i), (5, i), (6, i), and (7, i). Further, let A(i, j) be any 4 ? 4 idempotent latin square
based on 4, 5, 6, and 7 and denote by A(i, j) ? fig the latin square obtained from A(i, j)
by replacing each of the symbols 4, 5, 6, and 7 with the ordered pairs (4, i), (5, i), (6, i),
127
and (7, i). Let L1, L2, and L3 be any three 7 ? 7 latin squares as deflned above and denote
by F the 15 ? 15 latin square deflned as follows:
F =
A(3,1)?f2g 7 A(3,2)?f1g 7
6
5
L3?f3g 7
6
5
4
A(2,1)?f3g L2?f2g A(2,3)?f1g
L1?f1g A(1,2)?f3g A(1,3)?f2g
2 1 3
3 2 1
1 3 2
6
5
4 4
7
6
5
4
7
6
5
4
7
6
5
4
7
6
5
4
7
6
5
4
7
6
5
4
where A(1,2), A(1,3), A(2,1), A(2,3), A(3,1), and A(3,2) are any 4 ? 4 idempotent latin
squares based on 4, 5, 6, and 7. Then F is a 15 ? 15 latin square with holes of size 3:
f1, 2, 3g, f(4,1), (4,2), (4,3)g, f(5,1), (5,2), (5,3)g, f(6,1), (6,2), (6,3)g, f(7,1), (7,2), (7,3)g.
If F1 and F2 are any two such 15 ? 15 latin squares as deflned above we have
the following freedom: jL1 T L01j = x1, jL2 T L02j = x2, jL3 T L03j = x3, j(A(1,2)?
f3g) T (A0(1,2)?f3g)j = x4, j(A(1,3)? f2g) T (A0(1,3)?f2g)j = x5, j(A(2,1)? f3g) T
(A0(2,1)?f3g)j=x6,j(A(2,3)?f1g)T(A0(2,3)?f1g)j=x7,j(A(3,1)?f2g)T(A0(3,1)?f2g)j
= x8, j(A(3,2)? f1g) T (A0(3,2)?f1g)j = x9 where x1, x2, and x3 2 f0, 2, 4,......, 22, 24,
25, 26, 28, 29, 32g and x4,...., x9 2 f0, 12g.
128
Example 8.1 (15 ? 15 latin squares F1 and F2 with holes of size 3, jF1 T F2j = 68)
L1 =
7
6
5
4
2 1 3
3 2 1
1 3 2
4 5 6 1 3 2
7 4 5 3 2 1
6 7 4 2 1 3
5 6 7 1 3 2
6 5 4 7
5 4 7 6
4 7 6 5
L01 =
7
6
5
4
2 1 3
3 2 1
1 3 2
6 4 5 3 1 2
7 5 4 1 2 3
4 6 7 2 3 1
5 7 6 3 1 2
5 4 7 6
4 5 6 7
6 7 4 5
L2 =
7
6
5
4
2 1 3
3 2 1
1 3 2
6 4 5 3 1 2
7 5 4 1 2 3
4 6 7 2 3 1
5 7 6 3 1 2
5 4 7 6
4 5 6 7
6 7 4 5
L02 =
7
6
5
4
2 1 3
3 2 1
1 3 2
6 4 5 3 2 1
7 5 4 1 3 2
4 7 6 2 3 1
5 6 7 1 2 3
5 4 6 7
4 5 7 6
6 7 4 5
L3 =
7
6
5
4
2 1 3
3 2 1
1 3 2
6 4 5 3 2 1
7 5 4 1 3 2
4 7 6 2 3 1
5 6 7 1 2 3
5 4 6 7
4 5 7 6
6 7 4 5
L03 =
7
6
5
4
2 1 3
3 2 1
1 3 2
4 5 6 1 3 2
7 4 5 3 2 1
6 7 4 2 1 3
5 6 7 1 3 2
6 5 4 7
5 4 7 6
4 7 6 5
129
A(1,2) =
6 4 5 7
5 7 6 4
7 5 4 6
4 6 7 5
A0(1,2) =
5 6 4 7
7 4 6 5
6 5 7 4
4 7 5 6
A(1,3) =
5 6 4 7
7 4 6 5
6 5 7 4
4 7 5 6
A0(1,3) =
6 4 5 7
5 7 6 4
7 5 4 6
4 6 7 5
A(2,1) =
5 6 4 7
7 4 6 5
6 5 7 4
4 7 5 6
A0(2,1) =
5 6 4 7
7 4 6 5
6 5 7 4
4 7 5 6
A(2,3) =
6 4 5 7
5 7 6 4
7 5 4 6
4 6 7 5
A0(2,3) =
5 6 4 7
7 4 6 5
6 5 7 4
4 7 5 6
130
A(3,1) =
5 6 4 7
7 4 6 5
6 5 7 4
4 7 5 6
A0(3,1) =
5 6 4 7
7 4 6 5
6 5 7 4
4 7 5 6
A(3,2) =
5 6 4 7
7 4 6 5
6 5 7 4
4 7 5 6
A0(3,2) =
6 4 5 7
5 7 6 4
7 5 4 6
4 6 7 5
F1 =
7,2 7,1
6,1
5,1
7,3
6,3
5,3
4,3
2 1 3
3 2 1
1 3 2
6,2
5,2
4,2 4,1
7,3
6,3
5,3
4,3
7,2
6,2
5,2
4,2
7,1
6,1
5,1
4,1
7,1
6,1
5,1
4,1
7,3
6,3
5,3
4,3
7,2
6,2
5,2
4,2
6,3 4,3 5,3
7,3 5,3 4,3
4,3 7,3 6,3
5,3 6,3 7,3
7,3
6,3
5,3
6,3
7,3
4,3
4,3
5,3
7,3
5,3
4,3
6,3
6,2 4,2 5,2
7,2 5,2 4,2
4,2 6,2 7,2
5,2 7,2 6,2
6,2
7,2
5,2
7,2
6,2
4,2
4,2
5,2
7,2
5,2
4,2
6,2
4,1 5,1 6,1
7,1 4,1 5,1
6,1 7,1 4,1
5,1 6,1 7,1
7,1
6,1
5,1
4,1
7,1
6,1
5,1
4,1
7,1
6,1
5,1
4,1
5,2 6,2 4,2
7,2 4,2 5,2
6,2 7,2 4,2
7,2 5,2 6,2
5,1 6,1 4,1
7,1 4,1 5,1
6,1 7,1 4,1
7,1 5,1 6,1
3,3 2,3 1,3
1,3 3,3 2,3
2,3 3,3 1,3
1,3 2,3 3,3
5,1 6,1 4,1
7,1 4,1 5,1
6,1 7,1 4,1
7,1 5,1 6,1
3,3 1,3 2,3
1,3 2,3 3,3
2,3 3,3 1,3
3,3 1,3 2,3
6,2 4,2 5,2
5,2 7,2 4,2
7,2 4,2 6,2
6,2 7,2 5,2
1,1 3,1 2,1
3,1 2,1 1,1
2,1 1,1 3,1
1,1 3,1 2,1
6,3 4,3 5,3
5,3 7,3 4,3
7,3 4,3 6,3
6,3 7,3 5,3
6,2 4,2 5,2
5,2 7,2 4,2
7,2 5,2 6,2
6,2 7,2 5,2
131
F2 =
7,2 7,1
6,1
5,1
7,3
6,3
5,3
4,3
2 1 3
3 2 1
1 3 2
6,2
5,2
4,2 4,1
7,3
6,3
5,3
4,3
7,2
6,2
5,2
4,2
7,1
6,1
5,1
4,1
7,1
6,1
5,1
4,1
7,3
6,3
5,3
4,3
7,2
6,2
5,2
4,2
4,3 5,3 6,3
7,3 4,3 5,3
6,3 7,3 4,3
5,3 6,3 7,3
7,3
6,3
5,3
4,3
7,3
6,3
5,3
4,3
7,3
6,3
5,3
4,3
6,2 4,2 5,2
7,2 5,2 4,2
4,2 7,2 6,2
5,2 6,2 7,2
7,2
6,2
5,2
6,2
7,2
4,2
4,2
5,2
7,2
5,2
4,2
6,2
6,1 4,1 5,1
7,1 5,1 4,1
4,1 6,1 7,1
5,1 7,1 6,1
6,1
7,1
5,1
7,1
6,1
4,1
4,1
5,1
7,1
5,1
4,1
6,1
5,2 6,2 4,2
7,2 4,2 5,2
6,2 7,2 4,2
7,2 5,2 6,2
6,1 4,1 5,1
5,1 7,1 4,1
7,1 4,1 6,1
6,1 7,1 5,1
1,3 3,3 2,3
3,3 2,3 1,3
2,3 1,3 3,3
1,3 3,3 2,3
5,1 6,1 4,1
7,1 4,1 5,1
6,1 7,1 4,1
7,1 5,1 6,1
3,3 2,3 1,3
1,3 3,3 2,3
2,3 3,3 1,3
1,3 2,3 3,3
5,2 6,2 4,2
7,2 4,2 5,2
6,2 7,2 4,2
7,2 5,2 6,2
3,1 1,1 2,1
1,1 2,1 3,1
2,1 3,1 1,1
3,1 1,1 2,1
5,3 6,3 4,3
7,3 4,3 5,3
6,3 7,3 4,3
7,3 5,3 6,3
6,2 4,2 5,2
5,2 7,2 4,2
7,2 5,2 6,2
6,2 7,2 5,2
This construction produces latin squares F1 and F2 with holes f1, 2, 3g, f(4,1),(4,2),(4,3)g,
f(5,1),(5,2),(5,3)g, f(6,1),(6,2),(6,3)g, and f(7,1),(7,2),(7,3)g such that jF1 T F2j = k for
all k 2f0, 2, 4,........., 168g
The missing intersection numbers are f1, 3, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 176, 180g.
Using a Java program and manual techniques we found latin squares B1, B2; L1, L2,..........,
L9, L10 such that for each k 2 f1, 3, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 176, 180g there is a Bi
and Lj such that jBi T Ljj = k. These are given in tabular form.
The following is a list of the latin squares B1, B2; L1, L2,.........., L10:
132
6 4 7 2 3 11 1 10 12 9 8 5 14 13 15
4 6 5 1 11 12 10 3 2 7 9 8 15 14 13
5 12 4 3 9 2 11 1 10 8 6 7 13 15 14
13 5 9 15 1 8 14 2 3 11 10 12 7 4 6
15 9 6 14 2 1 3 13 5 12 11 10 4 8 7
9 14 8 13 15 3 2 6 1 10 12 11 5 7 4
14 15 11 10 12 13 8 7 9 6 5 4 2 1 3
12 13 10 11 14 15 9 8 7 5 4 6 3 2 1
11 10 15 12 13 14 7 9 8 4 3 2 1 6 5
10 11 14 5 4 6 15 12 13 3 7 1 8 9 2
8 7 13 6 5 4 12 15 14 2 1 9 11 3 10
7 8 12 4 6 5 13 14 15 1 2 3 9 10 11
2 1 3 9 10 7 6 11 4 15 13 14 12 5 8
3 2 1 8 7 10 5 4 11 14 15 13 6 12 9
1 3 2 7 8 9 4 5 6 13 14 15 10 11 12
B1
133
9 12 4 3 11 1 10 2 5 8 6 7 14 13 15
6 4 7 2 12 3 11 1 10 9 8 5 15 14 13
4 5 6 1 3 11 2 10 12 7 9 8 13 15 14
15 9 8 14 2 13 3 6 1 11 10 12 5 7 4
14 15 5 13 9 8 1 3 2 12 11 10 7 4 6
5 6 9 15 1 2 14 13 3 10 11 12 4 8 7
13 14 11 10 15 12 8 7 9 6 5 4 3 2 1
12 13 10 11 14 15 9 8 7 5 4 6 2 1 3
11 10 15 12 13 14 7 9 8 4 3 2 1 6 5
10 11 14 5 4 6 15 12 13 3 7 1 8 9 2
8 7 13 6 5 4 12 15 14 2 1 9 11 3 10
7 8 12 4 6 5 13 14 15 1 2 3 9 10 11
2 1 3 9 10 7 6 11 4 15 13 14 12 5 8
3 2 1 8 7 10 5 4 11 14 15 13 6 12 9
1 3 2 7 8 9 4 5 6 13 14 15 10 11 12
B2
134
4 6 7 1 2 11 3 10 12 9 8 5 14 13 15
5 12 4 3 11 2 10 6 1 7 9 8 15 14 13
9 4 5 2 12 3 11 1 10 8 6 7 13 15 14
14 5 9 15 1 8 2 13 3 11 10 12 7 4 6
15 9 6 13 3 1 14 2 5 12 11 10 4 8 7
6 15 8 14 9 13 1 3 2 10 12 11 5 7 4
12 13 10 11 14 15 7 9 8 5 4 6 2 1 3
11 10 15 12 13 14 7 9 8 4 3 2 1 6 5
10 11 14 6 5 4 15 12 13 3 7 1 8 9 2
8 7 13 4 6 5 12 15 14 2 1 9 11 3 10
2 1 3 9 10 7 6 11 4 15 13 14 12 5 8
3 2 1 8 7 10 5 4 11 14 15 13 6 12 9
7 8 12 5 4 6 13 14 15 1 2 3 9 10 11
13 14 11 10 15 12 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 3 2 7 8 9 4 5 6 13 14 15 10 11 12
L1
135
5 6 4 1 11 12 10 3 2 7 9 8 14 13 15
4 12 5 3 9 2 11 1 10 8 6 7 15 14 13
6 4 7 2 3 11 1 10 12 9 8 5 13 15 14
13 5 9 15 1 8 14 2 3 11 10 12 7 4 6
15 9 6 14 2 1 3 13 5 12 11 10 4 8 7
9 14 8 13 15 3 2 6 1 10 12 11 5 7 4
14 15 11 10 12 13 8 7 9 6 5 4 2 1 3
12 13 10 11 14 15 9 8 7 5 4 6 3 2 1
11 10 15 12 13 14 7 9 8 4 3 2 1 6 5
10 11 14 5 4 6 15 12 13 3 7 1 8 9 2
8 7 13 6 5 4 12 15 14 2 1 9 11 3 10
7 8 12 4 6 5 13 14 15 1 2 3 9 10 11
2 1 3 9 10 7 6 11 4 15 13 14 12 5 8
3 2 1 8 7 10 5 4 11 14 15 13 6 12 9
1 3 2 7 8 9 4 5 6 13 14 15 10 11 12
L2
136
6 4 7 2 3 11 1 10 12 9 8 5 14 13 15
4 6 5 1 11 12 10 3 2 7 9 8 15 14 13
5 9 4 3 12 2 11 1 10 8 6 7 13 15 14
15 5 9 13 1 8 14 2 3 11 10 12 7 4 6
9 15 6 14 2 1 3 13 5 12 11 10 4 8 7
13 14 8 15 9 3 2 6 1 10 12 11 5 7 4
14 12 11 10 15 13 8 7 9 6 5 4 2 1 3
12 13 10 11 14 15 9 8 7 5 4 6 3 2 1
11 10 15 12 13 14 7 9 8 4 3 2 1 6 5
10 11 14 5 4 6 15 12 13 3 7 1 8 9 2
8 7 13 6 5 4 12 15 14 2 1 9 11 3 10
7 8 12 4 6 5 13 14 15 1 2 3 9 10 11
2 1 3 9 10 7 6 11 4 15 13 14 12 5 8
3 2 1 8 7 10 5 4 11 14 15 13 6 12 9
1 3 2 7 8 9 4 5 6 13 14 15 10 11 12
L3
137
6 4 7 2 3 11 1 10 12 9 8 5 14 13 15
5 6 4 1 11 12 10 3 2 7 9 8 15 14 13
4 12 5 3 9 2 11 1 10 8 6 7 13 15 14
13 5 9 15 1 8 14 2 3 11 10 12 7 4 6
15 9 6 14 2 1 3 13 5 12 11 10 4 8 7
9 14 8 13 15 3 2 6 1 10 12 11 5 7 4
14 15 11 10 12 13 8 7 9 6 5 4 3 2 1
12 13 10 11 14 15 9 8 7 5 4 6 2 1 3
11 10 15 12 13 14 7 9 8 4 3 2 1 6 5
10 11 14 5 4 6 15 12 13 3 7 1 8 9 2
8 7 13 6 5 4 12 15 14 2 1 9 11 3 10
7 8 12 4 6 5 13 14 15 1 2 3 9 10 11
2 1 3 9 10 7 6 11 4 15 13 14 12 5 8
3 2 1 8 7 10 5 4 11 14 15 13 6 12 9
1 3 2 7 8 9 4 5 6 13 14 15 10 11 12
L4
138
6 4 7 1 3 11 2 10 12 9 8 5 14 13 15
4 6 5 2 11 12 10 3 1 7 9 8 15 14 13
5 12 4 3 9 2 11 1 10 8 6 7 13 15 14
13 5 9 15 1 8 14 2 3 11 10 12 7 4 6
15 9 6 14 2 3 1 13 5 12 11 10 4 8 7
9 14 8 13 15 1 3 6 2 10 12 11 5 7 4
14 15 11 10 12 13 8 7 9 6 5 4 2 1 3
12 13 10 11 14 15 9 8 7 5 4 6 3 2 1
11 10 15 12 13 14 7 9 8 4 3 2 1 6 5
10 11 14 5 4 6 15 12 13 3 7 1 8 9 2
8 7 13 6 5 4 12 15 14 2 1 9 11 3 10
7 8 12 4 6 5 13 14 15 1 2 3 9 10 11
2 1 3 9 10 7 6 11 4 15 13 14 12 5 8
3 2 1 8 7 10 5 4 11 14 15 13 6 12 9
1 3 2 7 8 9 4 5 6 13 14 15 10 11 12
L5
139
6 4 7 2 3 11 1 10 12 9 8 5 14 13 15
4 6 5 1 11 12 10 3 2 7 9 8 15 14 13
5 9 4 3 12 2 11 1 10 8 6 7 13 15 14
13 5 9 15 1 8 14 2 3 11 10 12 7 4 6
9 15 6 14 2 1 3 13 5 12 11 10 4 8 7
15 14 8 13 9 3 2 6 1 10 12 11 5 7 4
14 12 11 10 15 13 8 7 9 6 5 4 2 1 3
12 13 10 11 14 15 9 8 7 5 4 6 3 2 1
11 10 15 12 13 14 7 9 8 4 3 2 1 6 5
10 11 14 5 4 6 15 12 13 3 7 1 8 9 2
8 7 13 6 5 4 12 15 14 2 1 9 11 3 10
7 8 12 4 6 5 13 14 15 1 2 3 9 10 11
2 1 3 9 10 7 6 11 4 15 13 14 12 5 8
3 2 1 8 7 10 5 4 11 14 15 13 6 12 9
1 3 2 7 8 9 4 5 6 13 14 15 10 11 12
L6
140
6 4 5 2 3 11 1 10 12 9 8 7 14 13 15
5 6 4 1 11 12 10 3 2 7 9 8 15 14 13
4 12 7 3 9 2 11 1 10 8 6 5 13 15 14
13 5 9 15 1 8 14 2 3 11 10 12 7 4 6
15 9 6 14 2 1 3 13 5 12 11 10 4 8 7
9 14 8 13 15 3 2 6 1 10 12 11 5 7 4
14 15 11 10 12 13 8 7 9 6 5 4 2 1 3
12 13 10 11 14 15 9 8 7 5 4 6 3 2 1
11 10 15 12 13 14 7 9 8 4 3 2 1 6 5
10 11 14 5 4 6 15 12 13 3 7 1 8 9 2
8 7 13 6 5 4 12 15 14 2 1 9 11 3 10
7 8 12 4 6 5 13 14 15 1 2 3 9 10 11
2 1 3 9 10 7 6 11 4 15 13 14 12 5 8
3 2 1 8 7 10 5 4 11 14 15 13 6 12 9
1 3 2 7 8 9 4 5 6 13 14 15 10 11 12
L7
141
6 4 7 2 3 11 1 10 12 9 8 5 14 13 15
4 6 5 1 11 12 10 3 2 7 9 8 15 14 13
5 12 4 3 9 2 11 1 10 8 6 7 13 15 14
13 5 9 15 1 8 14 2 3 11 10 12 7 4 6
15 9 6 14 2 1 3 13 5 12 11 10 4 8 7
9 14 8 13 15 3 2 6 1 10 12 11 5 7 4
14 15 11 10 12 13 8 7 9 6 5 4 3 2 1
12 13 10 11 14 15 9 8 7 5 4 6 2 1 3
11 10 15 12 13 14 7 9 8 4 3 2 1 6 5
10 11 14 5 4 6 15 12 13 3 7 1 8 9 2
8 7 13 6 5 4 12 15 14 2 1 9 11 3 10
7 8 12 4 6 5 13 14 15 1 2 3 9 10 11
2 1 3 9 10 7 6 11 4 15 13 14 12 5 8
3 2 1 8 7 10 5 4 11 14 15 13 6 12 9
1 3 2 7 8 9 4 5 6 13 14 15 10 11 12
L8
142
6 4 7 2 3 11 1 10 12 9 8 5 14 13 15
5 6 4 1 11 12 10 3 2 7 9 8 15 14 13
4 12 5 3 9 2 11 1 10 8 6 7 13 15 14
13 5 9 15 1 8 14 2 3 11 10 12 7 4 6
15 9 6 14 2 1 3 13 5 12 11 10 4 8 7
9 14 8 13 15 3 2 6 1 10 12 11 5 7 4
14 15 11 10 12 13 8 7 9 6 5 4 2 1 3
12 13 10 11 14 15 9 8 7 5 4 6 3 2 1
11 10 15 12 13 14 7 9 8 4 3 2 1 6 5
10 11 14 5 4 6 15 12 13 3 7 1 8 9 2
8 7 13 6 5 4 12 15 14 2 1 9 11 3 10
7 8 12 4 6 5 13 14 15 1 2 3 9 10 11
2 1 3 9 10 7 6 11 4 15 13 14 12 5 8
3 2 1 8 7 10 5 4 11 14 15 13 6 12 9
1 3 2 7 8 9 4 5 6 13 14 15 10 11 12
L9
143
6 4 7 2 3 11 1 10 12 9 8 5 14 13 15
4 6 5 1 11 12 10 3 2 7 9 8 15 14 13
5 12 4 3 9 2 11 1 10 8 6 7 13 15 14
13 5 9 15 1 8 14 2 3 11 10 12 7 4 6
15 9 6 14 2 1 3 13 5 12 11 10 4 8 7
9 14 8 13 15 3 2 6 1 10 12 11 5 7 4
14 15 11 10 12 13 8 7 9 6 5 4 2 1 3
12 13 10 11 14 15 9 8 7 5 4 6 3 2 1
11 10 15 12 13 14 7 9 8 4 3 2 1 6 5
10 11 14 5 4 6 15 12 13 3 7 1 8 9 2
8 7 13 6 5 4 12 15 14 2 1 9 11 3 10
7 8 12 4 6 5 13 14 15 1 2 3 9 10 11
2 1 3 9 10 7 6 11 4 15 13 14 12 5 8
3 2 1 8 7 10 5 4 11 14 15 13 6 12 9
1 3 2 7 8 9 4 5 6 13 14 15 10 11 12
L10
k Bi T Lj k Bi T Lj
1 B2 T L1 173 B1 T L7
3 B1 T L2 174 B1 T L8
169 B1 T L3 176 B1 T L9
170 B1 T L4 180 B1 T L10
171 B1 T L5
172 B1 T L6
144
Lemma 8.1 The spectrum for 15 ? 15 latin squares with holes of size 3 having k entries
in common outside of the holes is f0, 1, 2,......, 180g n f175, 177, 178, 179g. ?
145
Chapter 9
The Complete Solution of the Intersection Problem for Latin Squares
with Holes of Size 3
To begin with there is nothing to prove for n = 3 and 6. For n = 9 it is immediate
that the intersection numbers are all 3k where k 2 f0, 1, 2,......., 17, 18g.
Now let A1, B1, C1, D1, E1, F1, G1, H1, I1 be any idempotent latin squares of
order n ? 6 and let T be the latin square
T =
2 1 3
3 2 1
1 3 2
Let T1 be the latin square deflned by the generalized direct product
T1 =
G1 ? f2g H1 ? f1g I1 ? f3g
D1 ? f3g E1 ? f2g F1 ? f1g
A1 ? f1g B1 ? f3g C1 ? f2g
Then T1 is a latin square of order 3n with holes H = fh1, h2,......, hng, hi = f(i,1), (i,2),
(i,3)g, of size 3.
146
Example 9.1 (Generalized direct Product of order 18)
A1 =
3 5 1 2 4 6
6 1 4 3 5 2
5 3 6 4 2 1
2 4 3 1 6 5
4 2 5 6 1 3
1 6 2 5 3 4
B1 =
4 5 1 3 2 6
2 3 4 6 5 1
3 1 2 4 6 5
6 4 3 5 1 2
5 2 6 1 3 4
1 6 5 2 4 3
C1 =
2 3 4 5 1 6
4 6 1 3 5 2
3 1 2 4 6 5
5 4 3 6 2 1
6 2 5 1 4 3
1 5 6 2 3 4
D1 =
4 3 1 5 2 6
2 6 4 3 5 1
3 1 5 4 6 2
6 4 3 2 1 5
5 2 6 1 4 3
1 5 2 6 3 4
E1 =
3 4 2 5 1 6
2 1 4 6 5 3
6 3 1 4 2 5
4 5 3 1 6 2
5 2 6 3 1 4
1 6 5 2 3 4
F1 =
3 1 4 5 2 6
2 4 1 6 5 3
6 3 2 4 1 5
4 5 3 1 6 2
5 2 6 3 4 1
1 6 5 2 3 4
147
G1 =
4 5 1 2 3 6
6 4 2 3 5 1
2 6 5 4 1 3
5 1 3 6 2 4
3 2 4 1 6 5
1 3 6 5 4 2
H1 =
2 1 5 3 4 6
3 6 4 1 5 2
6 3 1 4 2 5
5 4 3 2 6 1
4 2 6 5 1 3
1 5 2 6 3 4
I1 =
3 4 2 5 1 6
2 1 4 6 5 3
6 3 1 4 2 5
4 5 3 1 6 2
5 2 6 3 4 1
1 6 5 2 3 4
148
Then
T1 =
2,2 3,2 4,2 5,2 1,2 6,2
4,3 3,3 1,3 5,3 2,3 6,3
4,2 6,2 1,2 3,2 5,2 2,2
2,3 6,3 4,3 3,3 5,3 1,3
3,2 1,2 2,2 4,2 6,2 5,2
3,3 1,3 5,3 4,3 6,3 2,3
5,2 4,2 3,2 6,2 2,2 1,2
6,3 4,3 3,3 2,3 1,3 5,3
6,2 2,2 5,2 1,2 4,2 3,2
5,3 2,3 6,3 1,3 4,3 3,3
1,2 5,2 6,2 2,2 3,2 4,2
1,3 5,3 2,3 6,3 3,3 4,3
3,1 5,1 1,1 2,1 4,1 6,1 4,3 5,3 1,3 3,3 2,3 6,3
6,1 1,1 4,1 3,1 5,1 2,1 2,3 3,3 4,3 6,3 5,3 1,3
5,1 3,1 6,1 4,1 2,1 1,1 3,3 1,3 2,3 4,3 6,3 5,3
2,1 4,1 3,1 1,1 6,1 5,1 6,3 4,3 3,3 5,3 1,3 2,3
4,1 2,1 5,1 6,1 1,1 3,1 5,3 2,3 6,3 1,3 3,3 4,3
1,1 6,1 2,1 5,1 3,1 4,1 1,3 6,3 5,3 2,3 4,3 3,3
3,2 4,2 2,2 5,2 1,2 6,2
2,2 1,2 4,2 6,2 5,2 3,2
6,2 3,2 1,2 4,2 2,2 5,2
4,2 5,2 3,2 1,2 6,2 2,2
5,2 2,2 6,2 3,2 1,2 4,2
1,2 6,2 5,2 2,2 3,2 4,2
3,1 1,1 4,1 5,1 2,1 6,1
2,1 4,1 1,1 6,1 5,1 3,1
6,1 3,1 2,1 4,1 1,1 5,1
4,1 5,1 3,1 1,1 6,1 2,1
5,1 2,1 6,1 3,1 4,1 1,1
1,1 6,1 5,1 2,1 3,1 4,1
4,2 5,2 1,2 2,2 3,2 6,2
6,2 4,2 2,2 3,2 5,2 1,2
2,2 6,2 5,2 4,2 1,2 3,2
5,2 1,2 3,2 6,2 2,2 4,2
3,2 2,2 4,2 1,2 6,2 5,2
1,2 3,2 6,2 5,2 4,2 2,2
2,1 1,1 5,1 3,1 4,1 6,1
3,1 6,1 4,1 1,1 5,1 2,1
6,1 3,1 1,1 4,1 2,1 5,1
5,1 4,1 3,1 2,1 6,1 1,1
4,1 2,1 6,1 5,1 1,1 3,1
1,1 5,1 2,1 6,1 3,1 4,1
3,3 4,3 2,3 5,3 1,3 6,3
2,3 1,3 4,3 6,3 5,3 3,3
6,3 3,3 1,3 4,3 2,3 5,3
4,3 5,3 3,3 1,3 6,3 2,3
5,3 2,3 6,3 3,3 4,3 1,3
1,3 6,3 5,3 2,3 3,3 4,3
Note that the cells of size 3 are f(i,1), (i,2), (i,3)g, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Now let A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2, E1, E2, F1, F2, G1, G2, H1, H2, I1, and
I2 be idempotent latin squares of order n ? 6 and let
149
T1 =
G1 ? f2g H1 ? f1g I1 ? f3g
D1 ? f3g E1 ? f2g F1 ? f1g
A1 ? f1g B1 ? f3g C1 ? f2g
T2 =
G2 ? f2g H2 ? f1g I2 ? f3g
D2 ? f3g E2 ? f2g F2 ? f1g
A2 ? f1g B2 ? f3g C2 ? f2g
be the generalized direct products of order 3n constructed from the above latin squares and
T. Then T1 and T2 are latin squares of order 3n with holes H = fh1, h2,...., hng, hi = f(i,1),
(i,2), (i,3)g, of size 3.
If jA1 T A2j = x1, jB1 T B2j = x2, jC1 T C2j = x3, jD1 T D2j = x4, jE1 T E2j =
x5, jF1 T F2j = x6, jG1 T G2j = x7, jH1 T H2j = x8, and jI1 T I2j = x9, then jT1 T T2j
= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9.
150
Example 9.2 (Two 18 ? 18 latin squares intersecting in 69 cells)
A2 =
4 5 2 3 1 6
6 3 4 1 5 2
3 1 6 4 2 5
2 4 3 5 6 1
5 2 1 6 4 3
1 6 5 2 3 4
B2 =
4 3 1 5 2 6
3 1 6 2 5 4
2 6 5 4 1 3
6 5 3 1 4 2
5 2 4 3 6 1
1 4 2 6 3 5
C2 =
2 5 1 3 4 6
6 3 4 2 5 1
3 1 6 4 2 5
5 4 3 6 1 2
4 2 5 1 6 3
1 6 2 5 3 4
D2 =
3 5 1 2 4 6
2 6 4 3 5 1
5 3 6 4 1 2
4 1 3 6 2 5
6 2 5 1 3 4
1 4 2 5 6 3
E2 =
3 5 1 2 4 6
2 6 4 3 5 1
5 3 6 4 1 2
6 1 3 5 2 4
4 2 5 1 6 3
1 4 2 6 3 5
F2 =
4 3 1 5 2 6
3 1 4 6 5 2
2 6 5 4 3 1
6 4 3 2 1 5
5 2 6 1 4 3
1 5 2 3 6 4
151
G2 =
3 4 2 5 1 6
2 1 4 6 5 3
6 3 1 4 2 5
4 5 3 1 6 2
5 2 6 3 4 1
1 6 5 2 3 4
H2 =
4 5 2 3 1 6
6 3 4 1 5 2
3 1 6 4 2 5
2 4 3 5 6 1
5 2 1 6 3 4
1 6 5 2 4 3
I2 =
3 5 1 2 4 6
6 1 4 3 5 2
5 3 6 4 2 1
2 4 3 1 6 5
4 2 5 6 1 3
1 6 2 5 3 4
152
Then
T2 =
2,2 5,2 1,2 3,2 4,2 6,2
3,3 5,3 1,3 2,3 4,3 6,3
6,2 3,2 4,2 2,2 5,2 1,2
2,3 6,3 4,3 3,3 5,3 1,3
3,2 1,2 6,2 4,2 2,2 5,2
5,3 3,3 6,3 4,3 1,3 2,3
5,2 4,2 3,2 6,2 1,2 2,2
4,3 1,3 3,3 6,3 2,3 5,3
4,2 2,2 5,2 1,2 6,2 3,2
6,3 2,3 5,3 1,3 3,3 4,3
1,2 6,2 2,2 5,2 3,2 4,2
1,3 4,3 2,3 5,3 6,3 3,3
4,1 5,1 2,1 3,1 1,1 6,1 4,3 3,3 1,3 5,3 2,3 6,3
6,1 3,1 4,1 1,1 5,1 2,1 3,3 1,3 6,3 2,3 5,3 4,3
3,1 1,1 6,1 4,1 2,1 5,1 2,3 6,3 5,3 4,3 1,3 3,3
2,1 4,1 3,1 5,1 6,1 1,1 6,3 5,3 3,3 1,3 4,3 2,3
5,1 2,1 1,1 6,1 4,1 3,1 5,3 2,3 4,3 3,3 6,3 1,3
1,1 6,1 5,1 2,1 3,1 4,1 1,3 4,3 2,3 6,3 3,3 5,3
3,2 5,2 1,2 2,2 4,2 6,2
2,2 6,2 4,2 3,2 5,2 1,2
5,2 3,2 6,2 4,2 1,2 2,2
6,2 1,2 3,2 5,2 2,2 4,2
4,2 2,2 5,2 1,2 6,2 3,2
1,2 4,2 2,2 6,2 3,2 5,2
4,1 3,1 1,1 5,1 2,1 6,1
3,1 1,1 4,1 6,1 5,1 2,1
2,1 6,1 5,1 4,1 3,1 1,1
6,1 4,1 3,1 2,1 1,1 5,1
5,1 2,1 6,1 1,1 4,1 3,1
1,1 5,1 2,1 3,1 6,1 4,1
3,2 4,2 2,2 5,2 1,2 6,2
2,2 1,2 4,2 6,2 5,2 3,2
6,2 3,2 1,2 4,2 2,2 5,2
4,2 5,2 3,2 1,2 6,2 2,2
5,2 2,2 6,2 3,2 4,2 1,2
1,2 6,2 5,2 2,2 3,2 4,2
4,1 5,1 2,1 3,1 1,1 6,1
6,1 3,1 4,1 1,1 5,1 2,1
3,1 1,1 6,1 4,1 2,1 5,1
2,1 4,1 3,1 5,1 6,1 1,1
5,1 2,1 1,1 6,1 3,1 4,1
1,1 6,1 5,1 2,1 4,1 3,1
3,3 5,3 1,3 2,3 4,3 6,3
6,3 1,3 4,3 3,3 5,3 2,3
5,3 3,3 6,3 4,3 2,3 1,3
2,3 4,3 3,3 1,3 6,3 5,3
4,3 2,3 5,3 6,3 1,3 3,3
1,3 6,3 2,3 5,3 3,3 4,3
153
If A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2, E1, E2, F1, F2, G1, G2, H1, H2, I1, and I2 are as in
Examples 9.1 and 9.2: jA1 T A2j = 13, jB1 T B2j = 6, jC1 T C2j = 12, jD1 T D2j = 10,
jE1 T E2j = 3, jF1 T F2j = 6, jG1 T G2j = 0, jH1 T H2j = 9, and jI1 T I2j = 10; so that
jT1 T T2j = 13 + 6 + 12 + 10 + 3 + 6 + 0 + 9 + 10 = 69.
Lemma 9.3 If 3n ? 18, there exists a pair of 3n ? 3n latin squares with holes of size
3 intersecting in k entries if and only if k 2 f0, 1, 2,....., x = 9n2 - 9ng n fx - 1, x - 2, x - 3,
x - 5g. ?
Proof. If k 2 f0, 1, 2,...., x = 9n2 - 9ng n fx - 1, x - 2, x - 3, x - 5g, we can always
write k = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9, where each xi belongs to f0, 1,
2,......, x = n2 - ng n fx - 1, x - 2, x - 3, x - 5g. ?
Theorem 9.4 The spectrum for pairs of latin squares with holes of size 3 intersecting
in k entries is:
(i) (9, 3k), k 2 f0, 1, 2,......., 17, 18 g and
(ii) (3n, k), 3n ? 12 and k 2 f0, 1, 2,......., x = 9n2 - 9ng n fx - 1, x - 2, x - 3, x - 5g.
?
Proof. The comments at the beginning of this chapter plus Lemmas 7.1, 8.1, and 9.3.
?
154
Bibliography
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Squares is Strictly Increasing." Ars Comb.14(1982): 131-145.
155